saying は say の動名詞というより「ことわざ」という意味の名詞にとるのが一番自然です。
他に「言うこと，言葉」という意味もありますがこれは　sayings and doings 「言動」という熟語か　the saying(s) of Jesus Christ 「キリストの言葉」のような「ダレダレの言葉」という使い方をするのが一般的なようです。


今回の場合，文脈から「私はそのことについて何も言うことがない。」という意味の文を完成させるので，　I don't have any saying in the matter. は不適切に思えます。


I don't have any saying というのが一般的な言い方かについて　google で検索すると
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&ie=UTF-8&c2coff=
1&q=%22I+don%27t+have+any+saying&lr=
4件だけヒットします。　（その中には北野武のホームページの英訳も含まれていますが）このヒット数から見て一般的とは言いがたいと思います。


出題者は不定詞の形容詞的用法の例文で見かける　I don't have anything to eat.のような　not have anything to不定詞　から，　anything が　any に変っても答えを導くことができることを期待していると思います。


また受験の英語では　some/any/no ＋動名詞　は　There is no 〜ing の構文を知っていれば事が足り，　some/any ＋動名詞は触れません。　(受験英語でなくても　some/any/no ＋〜ing となるとこの ing は動名詞というより名詞と見てしまうのが一般的だと思います。）


それよりも大学入試の対策としては　have 目的語　＋準動詞　をパターン化して正しい選択ができルようにした方が実践的だと思います。
have 目的語　原形不定詞　例：　I had my friend take my picture.
have 目的語　過去分詞    例：  I had a picture taken by my friend.
have 目的語　to不定詞    例：  I had a picture to show my friend.
have 目的語　現在分詞    例：  I had a friend taking pictures as a hobby.


出題者の意図に合うように受験生の視点を導くのが受験の英語の指導なので，　割り切って処理してしまうことも時に必要になる気がします。