half の扱いは一言で言えばいい加減です。
ここでは名詞と形容詞両方兼ねて考察すると


(1)　一つのリンゴの半分＝半分のリンゴ
half of an apple (名)
a half of an apple (名)
half an apple (形)
a half apple (形)


(2)　そのリンゴの半分＝その半分のリンゴ
half of the apple (名)
a half of the apple (名)
half the apple (形)
the half apple (形)


(3)　一つのリンゴのその半分
the half of an apple （名）


(4)　そのリンゴのその半分
the half of the apple (名）


以上はサイト検索する限り存在する表現です。
ただ傾向として次のことが言えます。


(1) half of 〜　の方が　a half of 〜　よりも多い。
(2) half a 〜　が一般的でアメリカ人の一部は　a half 〜　を使う。
(3) half the 〜　が一般的でアメリカ人の一部は　the half 〜　を使う。


また上の用法とは別に
(1) one apple and a half 1個半のリンゴ　のように「〜と半分」は
〜　and a half が標準。　〜　and half とすると非標準的
(2) at half past seven 7時半　のように「〜時半」は
half past 〜　が標準。　a half past〜　とすると非標準的


結論は
「〜の半分」は　half a/the 〜　または　half of 〜　を使うと無難。
「〜と半分」は　〜　and a half を使う。
「〜時半」は　　half past 〜　を使う。